El problema de Dirichlet es un problema de cálculo diferencial consistente en encontrar una función armónica sobre un dominio de (o más generalmente una variedad diferenciable) que tome valores prescritos sobre el contorno de dicho dominio.
Este tipo de problema es reductible al problema de Poisson.
Definición del problema de Dirichlet:
El problema de Dirichlet es un problema de encontrar una función armónica sobre un dominio tal que sea igual a otra función dada sobre el contorno del dominio:
En electrostática el problema de Dirichlet se corresponde con el problema de encontrar el campo dentro de una cavidad metálica "conectada a tierra" (potencial constante) de forma Ω dentro de la cual hay una distribución de carga dada por ρ.
Relación con el problema de Poisson:
Existe un medio para reducir el problema de Dirichlet a un problema de Poisson. Si es una función de clase C1 sobre la frontera del dominio y es una extensión de f a todo el dominio Ω que sea de clase C2, es decir:
Entonces la solución del problema de Dirichlet viene dada por una función suma de la extensión anterior y otra función que es solución de un problema de Poisson como:
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