Para comprender: Palabras Clave

Constante: En general, una constante es un valor de tipo permanente, que no puede modificarse, al menos no dentro del contexto o situación para el cual está previsto. Suele relacionarse y usarse en combinación con las variables, que si admiten modificación en sus valores.

Función: En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x).

Variable: Una variable es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado. Dicho conjunto es llamado conjunto universal de la variable, universo o dominio de la variable, y cada elemento del conjunto es un valor de la variable.

Serie: En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión.

Función meromorfa: Una función meromorfa sobre un subconjunto abierto D del plano complejo es una función que es holomorfa en todo D excepto en un conjunto de puntos aislados, llamados polos de la función. (La terminología viene del Griego clásico “meros”, que significa parte, en contrapunto a “holos”, que significa todo.) Dichas funciones son a veces conocidas como funciones regulares o regulares sobre D.

Ecuación: Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

Principio: Causa primitiva o primera de algo.

Teselación: Un teselado se refiere a una partición del plano mediante polígonos idénticos, o a un polígono o grupo de polígonos idénticos que convenientemente agrupados recubren enteramente el plano.

Carácter: Es una letra, ideograma, número u otros símbolos. Por ejemplo, están los caracteres chinos.

Para comprender: Constante Zeta

En matemática, una constante zeta es el resultado de la función zeta de Riemann cuando esta se aplica sobre un número entero

La función zeta de Riemann en 0 y en 1

En cero, se tiene:

La función zeta tiene un único polo en 1:

Siendo el valor de su residuo en este punto la unidad:

Res(ζ(s),1) = 1

Además, en el infinito, su valor es la unidad:

Suma de constantes Zeta:

Para comprender: Función zeta de Riemann

La función zeta de Riemann nombrada en honor a Bernhard Riemann, es una función que tiene una importancia significativa en la teoría de números, por su relación con la distribución de los números primos. También tiene aplicaciones en otras áreas tales como la física, la teoría de probabilidades y estadística aplicada.

Definición:

La función zeta de Riemann ζ(s) está definida, para valores reales mayores que 1, por la serie de Dirichlet

En la región {s ∈ C Re(s) > 1}, esta serie infinita converge y define una función que es analítica en esta región. Riemann observó que la función zeta puede extenderse de manera única por continuación analítica a una función meromorfa en todo el plano complejo con un único polo en s = 1. Esta es la función que se considera en la hipótesis de Riemann.
Para los complejos con Re(s)<1,>
Aplicaciones:

Aunque los matemáticos consideran que la función zeta tiene un interés principal en la «más pura» de las disciplinas matemáticas, la teoría de números, lo cierto es que también tiene aplicaciones en estadística y en física. En algunos cálculos realizados en física, se debe evaluar la suma de los números enteros positivos. Paradójicamente, por motivos físicos se espera una respuesta finita. Cuando se produce esta situación, hay normalmente un enfoque riguroso con un análisis en profundidad, así como un «atajo», usando la función zeta de Riemann. El argumento es el siguiente:
Queremos evaluar la suma 1 + 2 + 3 + 4 + ... , pero podemos reescribirlo como una suma de sus inversos.

La suma S parece tomar la forma de (-1). Sin embargo, −1 sale fuera del dominio de convergencia de la serie de Dirichlet para la función zeta. Sin embargo, una serie divergente con términos positivos como ésta a veces puede ser representada de forma razonable por el método de sumación de Ramanujan. Este método de suma implica la aplicación de la fórmula de Euler-Maclaurin, y cuando se aplica a la función zeta, su definición se extiende a todo el plano complejo.

En particular,

donde la notación (R) indica suma de Ramanujan. Para exponentes pares se tiene que:

y para exponentes impares, se obtiene la relación con los números de Bernoulli:

La regularización de la función zeta se utiliza como un posible medio de la regularización de series divergentes en teoría cuántica de campos. Como ejemplo notable, la función zeta de Riemann aparece explícitamente en el cálculo del efecto Casimir.

Aporte: Función L de Dirichlet

En matemáticas , se llama serie L de Dirichlet, a una función de la forma:

Donde χ es un carácter de Dirichlet y s una variable compleja cuya componente real es mayor que 1. Por medio de una extensión analítica esta función puede ser extendida a una función merofórmica sobre todo el plano complejo, y entonces se la llama función L de Dirichlet y se la escribe como L(s,χ). Un caso especial importante de la función L de Dirichlet, es la Función zeta de Riemann, en el cual χ es el carácter trivial, Fue demostrado por Dirichlet que L(1,χ)≠0 para todos los caracteres de Dirichlet χ, permitiéndole a él desarrollar su teorema sobre números primos en sucesiones aritméticas. Por cierto, si χ es principal, entonces la función L de Dirichlet tiene un polo simple en s=1.

Ceros de las funciones L de Dirichlet:

Si χ es un carácter primitivo con χ(-1)=1, entonces los únicos ceros de L(s,χ) con Re(s)>

Ecuación funcional:

Supongamos que χ es un carácter primitivo al modulo k. Definiendo

donde Γ representa la Función Gamma y el símbolo a esta dado por

se tiene entonces la ecuación funcional

Donde τ(χ) expresa la Suma de Gauss

Relación con la función Zeta de Hurwitz:

Las funciones L de Dirichlet pueden escribirse como una combinación lineal de la función zeta de Hurwitz para valores racionales. Para un dado entero k ≥ 1, las funciones L de Dirichlet para caracteres módulo k son combinaciones lineales, con coeficientes constantes, de ζ(s,q) donde q = m/k y m = 1, 2, ..., k. Lo que quiere decir que la función zeta de Hurwitz para q racional posee propiedades analíticas que están muy relacionadas con las funciones L de Dirichlet. Específicamente, si llamamos χ a un carácter módulo k. Entonces podemos escribir su función L de Dirichlet como:

En particular, la función L de Dirichlet del carácter trivial módulo 1 da la función zeta de Riemann:

Aporte: Principio de Dirichlet

El principio del palomar, también llamado principio de Dirichlet, establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma. Otra forma de decirlo es que m huecos pueden albergar como mucho m objetos si cada uno de los objetos está en un hueco distinto, así que el hecho de añadir otro objeto fuerza a volver a utilizar alguno de los huecos. De otra manera: si se toman trece personas, al menos dos habrán nacido el mismo mes.
El primer enunciado del principio se cree que proviene de Dirichlet en 1834 con el nombre de Schubfachprinzip ("principio de los cajones"). No debe confundirse con otro principio sobre funciones armónicas, también con el nombre de este autor.
Principio de distribución, del palomar o del cajón de Dirichlet. Sean m, n y p tres números naturales. Si se desean colocar np + m objetos en n cajas, alguna caja debe contener al menos p + 1 objetos.
Demostración. Si cada caja contiene como mucho p objetos, el número total de objetos que podemos colocar es np <> n. Equivalentemente, si se desean colocar m objetos en n cajas, con m > n, al menos una caja debe contener al menos 2 objetos.
Aunque el principio del palomar puede parecer una observación trivial, se puede utilizar para demostrar resultados inesperados. Por ejemplo, hay por lo menos 2 personas en Madrid con el mismo número de pelos en la cabeza. Demostración: la cabeza de una persona tiene en torno a 750.000 cabellos y tener un millón de pelos requeriría de una cabeza gigante (nadie tiene un millón de pelos en al cabeza). Asignamos un palomar por cada número de 0 a 1.000.000 y asignamos una paloma a cada persona que irá al palomar correspondiente al número de pelos que tiene en la cabeza. Como en Madrid hay más de un millón de personas, habrá al menos dos personas con el mismo número de pelos en la cabeza.
Una versión generalizada de este principio dice que, si n objetos discretos deben guardarse en m cajas, al menos una caja debe contener no menos (n/m) de objetos, donde (...) denota la función techo.

La inspiración para el nombre del principio: aves en un palomar. Aquí n = 7 y m = 9.

Formulación matemática:

Si A y B son conjuntos finitos con A > B entonces no existe ninguna función inyectiva de A en B.

Demostración por inducción

Paso base: Supongamos B=0, es decir, B=Φ. Entonces no existe ninguna función f: A→B, en particular no existe ninguna función inyectiva.

Hipótesis inductiva:

f: A→B no es inyectiva para todo conjunto finito A y para todo conjunto finito B, que cumplan A > B, y B<=n, con n > = 0.

Tesis inductiva:

Para A > B = n + 1, no existe una función f: A→B inyectiva.

Demostración del paso inductivo:

Como A no es vacío, elijamos un a Є A. Pueden ocurrir dos cosas. O bien existe otro elemento distinto a a en A, llamémosle a' que cumpla f(a) = f(a'). O bien no existe tal elemento. Si el caso es que existe, la función f no es inyectiva y termina la demostración. Tomemos el caso que no existe, entonces f(a) tiene solo una preimagen que es a. Consideramos la función g: A- {a} →B - {f(a)} que coincide con f en todos los elementos de A − {a}. Ahora aplicamos la hipótesis inductiva pues B − {f(a)} tiene n elementos y A-{a}=A-1>B-1=B-{f(a)}, por lo tanto g no es inyectiva. Como g no es inyectiva, f no es inyectiva, que es lo que queríamos demostrar.

Aporte: Función de Dirichlet

En matemática, la función de Dirichlet, llamada así en honor al matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet, es una función matemática especial, que tiene la peculiaridad de no ser continua en ningún punto de su dominio.

Definición:

Si c y d ≠ c son dos números reales, (usualmente se toman los valores c = 1 y d = 0), la función de Dirichlet se define como:

Analíticamente, se puede representar de la siguiente manera:

Esta función no es continua en ningún punto de su dominio.

Aporte: Teselación de Dirichlet

Los polígonos de Thiessen (también llamados diagramas de Voronoi o teselación de Dirichlet) son una construcción geométrica que permite construir una partición del plano euclídeo.

Los polígonos de Thiessen son uno de los métodos de interpolación más simples, basado en la distancia euclidiana, siendo especialmente apropiada cuando los datos son cualitativos. Se crean al unir los puntos entre sí, trazando las mediatrices de los segmento de unión. Las intersecciones de estas mediatrices determinan una serie de polígonos en un espacio bidimensiona alrededor de un conjunto de puntos de control, de manera que el perímetro de los polígonos generados sea equidistante a los puntos vecinos y designando su área de influencia.

Ejemplos:

1.

2.

Aporte: Series de Dirichlet

En matemáticas, una serie de Dirichlet es toda serie del tipo

donde s y an, n = 1, 2, 3, ... son números complejos.

Las series de Dirichlet juegan un número importante de roles en la teoría analítica de números. La definición más popularizada de la función zeta de Riemann es una serie Dirichlet, tal como son las funciones L de Dirichlet. Se conjetura que las series de clase tipo Selberg satisfacen la hipótesis generalizada de Riemann.

Ejemplos:

La serie de Dirichlet más famosa es:

Otra serie de Dirichlet es:

Aporte: Problema de Dirichlet

El problema de Dirichlet es un problema de cálculo diferencial consistente en encontrar una función armónica sobre un dominio de (o más generalmente una variedad diferenciable) que tome valores prescritos sobre el contorno de dicho dominio.

Este tipo de problema es reductible al problema de Poisson.

Definición del problema de Dirichlet:

El problema de Dirichlet es un problema de encontrar una función armónica sobre un dominio tal que sea igual a otra función dada sobre el contorno del dominio:

En electrostática el problema de Dirichlet se corresponde con el problema de encontrar el campo dentro de una cavidad metálica "conectada a tierra" (potencial constante) de forma Ω dentro de la cual hay una distribución de carga dada por ρ.

Relación con el problema de Poisson:

Existe un medio para reducir el problema de Dirichlet a un problema de Poisson. Si es una función de clase C1 sobre la frontera del dominio y es una extensión de f a todo el dominio Ω que sea de clase C2, es decir:

Entonces la solución del problema de Dirichlet viene dada por una función suma de la extensión anterior y otra función que es solución de un problema de Poisson como:

Aporte: Carácteres de Dirichlet

En teoría de números, los caracteres de Dirichlet son un cierto tipo de funciones aritméticas que derivan de caracteres completamente multiplicativos sobre las unidades . Los caracteres de Dirichlet son usados para definir las Funciones L de Dirichlet, las cuales son funciones meromorfas, con una variedad interesante de propiedades analíticas. Si χ es un carácter de Dirichlet, se define su serie L de Dirichlet de la siguiente manera:

donde s es un número complejo con la parte real > 1. Por continuación analítica, esta función puede ser extendida a una función meromorfa en todo el plano complejo. Las funciones L de Dirichlet son generalizaciones de la función zeta de Riemann y aparecen en la hipótesis generalizada de Riemann.

Definición axiomática:

Un carácter de Dirichlet es cualquier función χ de números enteros a números complejos con las siguientes propiedades:

1.Existe un entero positivo k tal que χ(n) = χ(n + k) para todo n.
2.Si mcd (n,k) > 1 entonces χ(n) = 0; si mcd(n,k) = 1 entonces χ(n) ≠ 0.
3.χ(mn) = χ(m)χ(n) para todo los enteros m y n.

Aporte: Teorema de Dirichlet

Este teorema sobre la distribución de los números primos en , fue conjeturado por Gauss y finalmente demostrado en 1837 por Dirichlet, nombre por el que actualmente se le conoce.
El primer teorema de convergencia de series de Fourier, debido a Dirichlet, apareció en 1829 y se refiere a funciones monótonas a trozos. Por ello comenzamos primero con unos comentarios sobre estas funciones. Una función monótona y acotada en un intervalo [a, b] es integrable y tiene límites laterales finitos en cada punto. Si estos límites no coinciden la función tendrá una discontinuidad con un salto finito. La suma de los saltos no puede ser mayor que la diferencia de los valores de la función en los extremos del intervalo, de modo que el conjunto de discontinuidades con salto mayor que 1/n es finito y, por tanto, el conjunto de discontinuidades es a lo más numerable. Las mismas propiedades serán ciertas para una función monótona a trozos, es decir, aquella que es monótona en una cantidad finita de intervalos que unidos dan el intervalo original.

Enunciado:

Sea a, b Є N / M.C.D (a,b) = 1 entonces la progresión aritmética an = a + b . n contiene infinitos números primos.

BIOGRAFÍA

Peter Gustav Lejeune Dirichlet, (Düren, actual Alemania, 1805-Gotinga, id., 1859) Matemático alemán. Cursó sus estudios en París, relacionándose con matemáticos como Fourier. Tras graduarse, fue profesor en las universidades de Breslau (1826-1828), Berlín (1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la cátedra dejada por Gauss tras su muerte. Sus aportaciones más relevantes se centraron en el campo de la teoría de los números, prestando especial atención al estudio de las series, y desarrolló la teoría de las series de Fourier. Consiguió una demostración particular del problema de Fermat, aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las series. En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y concepto de función, y en mecánica teórica se centró en el estudio del equilibrio de sistemas y en el concepto de potencial newtoniano.
Se casó con Rebecka Mendelssohn, que venía de una distinguida familia de judíos conversos. Era la nieta del filósofo Moses Mendelssohn, hija de Abraham Mendelssohn Bartholdy y hermana del compositor Felix Mendelssohn Bartholdy.
Fueron estudiantes suyos Ferdinand Eisenstein, Leopold Kronecker y Rudolf Lipschitz. Tras la muerte de Dirichlet, su amigo y colega matemático Richard Dedekin recopiló, editó y publicó sus lecciones y otros resultados en teoría de números bajo el título Vorlesungen über Zahlentheorie (Lecciones sobre Teoría de Números).