Para comprender: Función zeta de Riemann

La función zeta de Riemann nombrada en honor a Bernhard Riemann, es una función que tiene una importancia significativa en la teoría de números, por su relación con la distribución de los números primos. También tiene aplicaciones en otras áreas tales como la física, la teoría de probabilidades y estadística aplicada.

Definición:

La función zeta de Riemann ζ(s) está definida, para valores reales mayores que 1, por la serie de Dirichlet

En la región {s ∈ C Re(s) > 1}, esta serie infinita converge y define una función que es analítica en esta región. Riemann observó que la función zeta puede extenderse de manera única por continuación analítica a una función meromorfa en todo el plano complejo con un único polo en s = 1. Esta es la función que se considera en la hipótesis de Riemann.
Para los complejos con Re(s)<1,>
Aplicaciones:

Aunque los matemáticos consideran que la función zeta tiene un interés principal en la «más pura» de las disciplinas matemáticas, la teoría de números, lo cierto es que también tiene aplicaciones en estadística y en física. En algunos cálculos realizados en física, se debe evaluar la suma de los números enteros positivos. Paradójicamente, por motivos físicos se espera una respuesta finita. Cuando se produce esta situación, hay normalmente un enfoque riguroso con un análisis en profundidad, así como un «atajo», usando la función zeta de Riemann. El argumento es el siguiente:
Queremos evaluar la suma 1 + 2 + 3 + 4 + ... , pero podemos reescribirlo como una suma de sus inversos.

La suma S parece tomar la forma de (-1). Sin embargo, −1 sale fuera del dominio de convergencia de la serie de Dirichlet para la función zeta. Sin embargo, una serie divergente con términos positivos como ésta a veces puede ser representada de forma razonable por el método de sumación de Ramanujan. Este método de suma implica la aplicación de la fórmula de Euler-Maclaurin, y cuando se aplica a la función zeta, su definición se extiende a todo el plano complejo.

En particular,

donde la notación (R) indica suma de Ramanujan. Para exponentes pares se tiene que:

y para exponentes impares, se obtiene la relación con los números de Bernoulli:

La regularización de la función zeta se utiliza como un posible medio de la regularización de series divergentes en teoría cuántica de campos. Como ejemplo notable, la función zeta de Riemann aparece explícitamente en el cálculo del efecto Casimir.