Aporte: Función L de Dirichlet

En matemáticas , se llama serie L de Dirichlet, a una función de la forma:

Donde χ es un carácter de Dirichlet y s una variable compleja cuya componente real es mayor que 1. Por medio de una extensión analítica esta función puede ser extendida a una función merofórmica sobre todo el plano complejo, y entonces se la llama función L de Dirichlet y se la escribe como L(s,χ). Un caso especial importante de la función L de Dirichlet, es la Función zeta de Riemann, en el cual χ es el carácter trivial, Fue demostrado por Dirichlet que L(1,χ)≠0 para todos los caracteres de Dirichlet χ, permitiéndole a él desarrollar su teorema sobre números primos en sucesiones aritméticas. Por cierto, si χ es principal, entonces la función L de Dirichlet tiene un polo simple en s=1.

Ceros de las funciones L de Dirichlet:

Si χ es un carácter primitivo con χ(-1)=1, entonces los únicos ceros de L(s,χ) con Re(s)>

Ecuación funcional:

Supongamos que χ es un carácter primitivo al modulo k. Definiendo

donde Γ representa la Función Gamma y el símbolo a esta dado por

se tiene entonces la ecuación funcional

Donde τ(χ) expresa la Suma de Gauss

Relación con la función Zeta de Hurwitz:

Las funciones L de Dirichlet pueden escribirse como una combinación lineal de la función zeta de Hurwitz para valores racionales. Para un dado entero k ≥ 1, las funciones L de Dirichlet para caracteres módulo k son combinaciones lineales, con coeficientes constantes, de ζ(s,q) donde q = m/k y m = 1, 2, ..., k. Lo que quiere decir que la función zeta de Hurwitz para q racional posee propiedades analíticas que están muy relacionadas con las funciones L de Dirichlet. Específicamente, si llamamos χ a un carácter módulo k. Entonces podemos escribir su función L de Dirichlet como:

En particular, la función L de Dirichlet del carácter trivial módulo 1 da la función zeta de Riemann: